quinta-feira, 17 de abril de 2014

Triângulo de Pascal



Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Puy-de-Dôme, 19 de Junho de 1623 - Paris, 19 de Agosto de 1662)

Filósofo e matemático Blaise Pascal, foi um prodígio matemático.

Em torno de 1650 escreveu o "Traité du Triangle Arithmétique" publicado em 1665 e, juntamente com Pierre Fermat, estabeleceu os fundamentos da teoria da probabilidade.

Embora não tenha sido o primeiro a trabalhar com o triângulo, este tornou-se conhecido como "triângulo de Pascal" devido ao desenvolvimento e aplicações que Pascal fez de muitas de suas propriedades.

O triângulo aritmético é conhecido há muito tempo, mas recebeu o nome de 'Triângulo de Pascal' devido aos estudos que o filósofo e matemático Blaise Pascal (1623-1662) fez deste.

O triângulo é infinito e simétrico, e seus lados esquerdo e direito sempre devem possuir o número  

O triângulo ao lado, dividido em linhas e colunas, é composto de números binomiais.


Cada linha possui um número a mais que a linha anterior. Além disso, o triângulo também possui várias propriedades interessantes que permitem construir com facilidade a linha seguinte.



Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).

NOTA: Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0, coluna 0.


Propriedades


Propriedade 1


A primeira propriedade do triângulo que iremos apresentar está relacionada à soma dos elementos de cada uma das linhas. Para ilustrar isto, vamos associar a cada linha do triângulo um número, começando do 0



A propriedade diz que a soma de todos os números de uma linha é igual a 2  elevado àquele número que associamos à linha. E o que significa isto?

Quando dizemos que o número 2 está elevado a 3 por exemplo, queremos dizer que o 2 foi multiplicado por si mesmo 3 vezes:




Você pode observar na figura o resultado das somas relacionadas à cada linha do triângulo:



Vamos conferir algumas delas:

 


Propriedade 2


A próxima propriedade do triângulo que veremos é a relação de Stifel.

Ela diz que a soma de dois números de uma mesma linha do triângulo é o número que está na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois números somados. A figura ilustra melhor a propriedade:



Vamos verificar as somas apontadas na figura:



Propriedade 3


Nossa próxima propriedade diz respeito à soma dos números dispostos em diagonal, começando sempre do 1 a partir da direita. Observe a figura para visualizar melhor:



A soma dos números da coluna estará sempre na coluna seguinte, na linha logo abaixo daquela em que está o último número que foi somado, como mostra a figura.

Vamos conferir algumas somas:




Da mesma forma que foi feito com as propriedades anteriores, você pode continuar verificando esta! Mas tome cuidado, as somas das colunas devem começar sempre a partir do primeiro número 1 da coluna.


Propriedade 4


Nossa última propriedade é bem parecida com a anterior, só que, em vez de as somas começarem do lado direito do triângulo, desta vez devem começar do lado esquerdo:



Da mesma forma, você vai encontrar a soma desta diagonal na linha abaixo daquela em que está o último número somado. Também aqui você deve ter sempre o cuidado de começar a soma do primeiro número 1 da coluna.

Vamos verificar as somas da figura:




Soma dos Números de uma Linha

Qualquer que seja a linha de um Triângulo de Pascal, se somarmos os números nela contidos, sempre iremos obter como total uma potência de 2, cujo expoente é o próprio número da linha.

Vejamos alguns exemplos:


Números de Fibonacci nas Diagonais do Triângulo de Pascal

 Os números de Fibonacci formam uma sequência numérica infinita, onde a partir do terceiro número, os números são obtidos através da soma dos dois números anteriores.


Os dois primeiros números da sequência de Fibonacci são iguais a 1 e todos os demais números são obtidos a partir da soma dos dois números anteriores, assim temos:


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...


Observe no triângulo ao lado que ao somarmos os números nas diagonais conforme mostrado, as somas obtidas vão formando a sequência de sequência de Fibonacci.


Mas, todos devem estar curioso, e o código em Pascal. Aguarde, breve irei postar.



Bibliografia




http://www.brasilescola.com/matematica/triangulo-pascal.htm

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