Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Puy-de-Dôme, 19 de Junho de 1623 - Paris, 19 de Agosto de 1662)
Filósofo e matemático Blaise Pascal, foi um prodígio matemático.
Em torno de 1650 escreveu o "Traité du Triangle Arithmétique" publicado em 1665 e, juntamente com Pierre Fermat, estabeleceu os fundamentos da teoria da probabilidade.
Embora não tenha sido o primeiro a trabalhar com o triângulo, este tornou-se conhecido como "triângulo de Pascal" devido ao desenvolvimento e aplicações que Pascal fez de muitas de suas propriedades.
O triângulo aritmético é
conhecido há muito tempo, mas recebeu o nome de 'Triângulo de Pascal' devido
aos estudos que o filósofo e matemático Blaise Pascal (1623-1662) fez deste.
O triângulo é infinito e simétrico, e seus lados
esquerdo e direito sempre devem possuir o número
Cada linha possui um número a
mais que a linha anterior. Além disso, o triângulo também possui várias
propriedades interessantes que permitem construir com facilidade a linha
seguinte.
Este triângulo forma-se de forma
recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes
números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6
(10-linha 5; 4 e 6-linha 4).
NOTA: Considera-se que o topo do
triângulo corresponde à linha 0, coluna 0.
Propriedades
Propriedade
1
A primeira
propriedade do triângulo que iremos apresentar está relacionada à soma dos
elementos de cada uma das linhas. Para ilustrar isto, vamos associar a cada
linha do triângulo um número, começando do 0
A propriedade
diz que a soma de todos os números de uma linha é igual a 2
elevado àquele
número que associamos à linha. E o que significa isto?
Quando dizemos
que o número 2 está elevado a 3 por exemplo,
queremos dizer que o 2 foi
multiplicado por si mesmo 3 vezes:
Você pode
observar na figura o resultado das somas relacionadas à cada linha do
triângulo:
Vamos conferir
algumas delas:
Propriedade 2
A próxima
propriedade do triângulo que veremos é a relação de Stifel.
Ela diz que a
soma de dois números de uma mesma linha do triângulo é o número que está na
linha logo abaixo, bem abaixo dos dois números somados. A figura ilustra melhor
a propriedade:
Vamos verificar
as somas apontadas na figura:
Propriedade 3
Nossa próxima
propriedade diz respeito à soma dos números dispostos em diagonal, começando
sempre do 1 a partir da
direita. Observe a figura para visualizar melhor:
A soma dos
números da coluna estará sempre na coluna seguinte, na linha logo abaixo
daquela em que está o último número que foi somado, como mostra a figura.
Vamos conferir
algumas somas:
Da mesma forma
que foi feito com as propriedades anteriores, você pode continuar verificando
esta! Mas tome cuidado, as somas das colunas devem começar sempre a partir do
primeiro número 1 da coluna.
Propriedade
4
Nossa última
propriedade é bem parecida com a anterior, só que, em vez de as somas começarem
do lado direito do triângulo, desta vez devem começar do lado esquerdo:
Da mesma forma,
você vai encontrar a soma desta diagonal na linha abaixo daquela em que está o
último número somado. Também aqui você deve ter sempre o cuidado de começar a
soma do primeiro número 1
da coluna.
Vamos verificar
as somas da figura:
Soma
dos Números de uma Linha
Qualquer
que seja a linha de um Triângulo de Pascal, se somarmos os números nela
contidos, sempre iremos obter como total uma potência de 2,
cujo expoente é o próprio número da linha.
Vejamos
alguns exemplos:
Números
de Fibonacci nas Diagonais do Triângulo de Pascal
Os
números de Fibonacci formam uma sequência numérica infinita, onde a
partir do terceiro número, os números são obtidos através da soma dos dois
números anteriores.
Os
dois primeiros números da sequência de
Fibonacci são iguais a 1 e todos os demais números são
obtidos a partir da soma dos dois números anteriores, assim temos:
1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
...
Observe
no triângulo ao lado que ao somarmos os números nas diagonais conforme
mostrado, as somas obtidas vão formando a sequência de sequência de
Fibonacci.
Mas, todos
devem estar curioso, e o código em Pascal. Aguarde, breve irei postar.
Bibliografia
http://www.brasilescola.com/matematica/triangulo-pascal.htm
